基于单调性分析和GROEBNER基法的符号优化方法合作

基于单调性分析和GROEBNER基法的符号优化方法***

基于单调性分析和GROEBNER基法的符号优化方法*** 2011： 1　前言　　工程优化设计的理论和方法近些年来得到了很大的发展和提高。随着计算机技术的迅猛发展,基于智能的优化技术已成为设计自动化的重要方面。基于非线性规划理论的优化技术是工程优化设计的主要基础,如何求出问题的全部最优解和全局最优解一直是从事优化技术研究的人们努力探索的课题。对优化模型进行单调性分析是解决该问题的一种方法。文献［1～6］基于单调性分析的优化技术的基本思想是通过对目标函数和约束函数进行单调性分析,找出问题松、紧和控制约束,将原问题分解为较为简单和易于求解的子问题,并且大大提高了求得问题的全局最优解的可能性。子问题的特点是全部约束均为紧约束(等式约束),所以问题可归结为对一组非线性代数方程(或等式约束问题)的求解。　　Powell、Yuan和Vardi等对上述等式约束子问题提出了一些方法［7、8］,但提出的方法一般都不能求得问题的全部解,因而容易出现将有用的子问题当做多余子问题使原问题的最优解丢失的情况。此外,传统的用数值迭代法求解该非线性代数系统也存在初值的选取问题且一般一次只能求出一个数值解。所有上述方法都只适用于数值优化模型,无法求解符号优化模型(即模型中的已知系数是符号而不是具体数值)。能求出符号模型的最优解显然是很有实用价值的,最优解的符号表达式是在各种参数取值条件下优化设计问题的通用解,它可以用来分析各参数对解的影响从而指导实际设计,它还简化了具体的设计。对符号模型的求解只能通过非数值迭代的代数方法来实现。　　Groebner基方法是求解非线性代数系统的一种非数值迭代的代数方法。其基本思想是在原非线性多项式代数系统所构成的多项式环内,通过对变量和多项式的项的适当排序,对原系统进行约简,最后生成一个与原系统等价且便于直接求解的标准基（Groebner基）。传统的结式消元法也可是解符号形式非线性代数系统的代数法,但它需要高度依赖于具体问题的消元技巧,且会产生增根。　　文献［9］、［10］提出了一种基于单调性分析和Groebner基法的求解符号模型优化问题最优解的方法,但他们在用Groebner基法求解子问题时,采用了传统的变量替代和消元的方法,没有解决Groebner基法的重要的排序问题,从而影响了方法的有效程度。本文在用单调性分析和Groebner基法对符号优化问题求解时,根据子问题等价等式方程组的特点提出了两个项及变量排序的法则,从而较快和更有效地生成符号形式的“三角化”的Groebner基,也即优化问题解的符号表达式。文中给出的计算实例说明了所提出的方法在求优化问题符号最优解方面的优越性和有效性。2　Groebner基方法简介［11］　　有关Groebner基(以下简写为GB)法的知识可在有关文献(例如文献[11])中找到,我们在此通过一个简单的例子来说明如何用该法生成一个多项式代数系统的GB。　　设有一个多项式系统F＝｛f1，f2｝,其中:　　f1＝ax2＋bxy　　f2＝cx2＋dy2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）式中:x，y——变量;　　a，b，c，d——符号形式的系数。　　对于f1，f2的项按字典法排序,变量的序为y＜Tx，则各多项式对应的主幂乘积为:LPP（f1）＝x2，LPP（f2）＝x2，由于LPP（f1）／LPP（f2）＝1，所以f1可相对于f2约简为f1′：　　f1′＝cf1－af2＝cbxy－ady2　　　　　　　　（2）　　现在求f1′与f2的S－多项式f3：f3＝S（f1′，f2）＝xf1′－byf2＝－adxy2－bdy3　　　　　（3）　　由于LPP（f2）能被LPP（f1′）整除,即LPP（f2）／LPP（f1′）＝xy2／xy＝y，所以f3可相对于f1′约简为f3′:f3′＝cbf3＋adyf1′＝（－cb2d－a2d2）y3　　　　　（4）　　接着求f1′与f3′的S－多项式f4：f4＝S（f1′，f3′）＝y2（－cb2d－a2d2）f1′－cbxf3′＝ad（cb2d＋a2d2）y4（5）　　f4又可相对于f3′约简为f4′:　　f4′＝f4＋adyf3′＝0　　　　　　　　　　　（6）　　同理,f2与f3′的S－多项式也可相对于f3′约简为零。最后得到F的等价Groebner基（GB）为G＝｛g1，g2，g3｝＝｛f3′，f1′，f2｝,且G是“三角化”的,即:　　g1＝f3′＝g1（y）　　　　　　　　　　　　　　g2＝f1′＝g2（x，y） 　　　　　　　　　　（7）g3＝f2＝g3（x，y）　　　　　　　　　　　　　　　　　对应于式(7)的方程组即为F所对应的方程组的解的符号表达式。若要求具体的解,可通过式(7)中的g1＝0求出y，再将y代入g2＝0和g3＝0,则g2、g3之GCD(最大公因式)的根即为x的解。显然,上述例的约简是很简单的,我们只是为了说明生成GB的约简过程,对于复杂的系统,其约简和生成GB是通过专用的算法(例如Buchberger算法)程序在计算机上自动完成的。3　基于单调性分析和Groebner基法的符号优化<

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